5.9 Ejercicios.

5.9.1 Ejercicios resueltos.

1.- Dada la matriz

  1. Hallar la descomposición de Cholesky
  2. Utilizar dicha descomposición para calcular det(A).
  3. Calcular la segunda columna de la inversa utilizando la descomposición anterior.

Solución:

Se puede calcular la descomposición de Cholesky por ser la matriz A simétrica y definida positiva:

Sabemos que :

y

por lo que obtenemos:

          

    

con lo que obtenemos:

b) Sabemos que:

det(A) = det(G.GT) = det(G).det(GT) = 2*2 = 4.

c) Para calcular la segunda columna de la inversa:

luego resolveremos los dos sistemas triangulares:

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2.- Supongamos que tenemos disponibles las siguientes funciones de Matlab:

function [L,U] = lu(A)

% Esta función descompone una matriz A, cuadrada e invertible, en dos factores L y U, L triangular inferior y U triangular superior, tales que se cumple A=L*U.

function y = tri_sup (A,x)

% Dada una matriz triangular superior A y un vector columna x, esta función resuelve el sistema de ecuaciones lineales triangular superior A*y = x.

function y = tri_inf (A,x)

% Dada una matriz triangular inferior A y un vector columna x, esta función resuelve el sistema de ecuaciones lineales triangular inferior A*y = x.

Usando estas tres funciones, escribe una función de Matlab que tome como argumento de entrada una matriz A, cuadrada e invertible y devuelva como salida la inversa de A.

Solución:

function invA = inversa (A)

[m,n] = size (A);

[L,U] = lu (A);

E = eye (n);

invA = [ ];

for i = 1 : n

y = tri_inf (L, E(:,1));

x = tri_sup (U, y);

invA = [invA x];

end

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3.- Dado el sistema de ecuaciones lineales:

  1. Calcular la descomposición LU de la matriz de coeficientes, utilizando el método de pivotación parcial.
  2. Calcula el determinante de la matriz de coeficientes.
  3. Resuelve el sistema de ecuaciones utilizando la descomposición del apartado a).

Solución:

  1. Inicializamos el vector de permutaciones y formamos la matriz de coeficientes ampliada con la columna de los términos independientes:
  2. (1,2,3)    

    Calculamos el pivote, permutamos el vector y calculamos multiplicadores de Gauss de la primera columna:

    (2,1,3)    

    Calculamos el pivote, permutamos el vector y calculamos multiplicadores de Gauss de la segunda columna:

    (2,1,3)    

    con lo que obtenemos la descomposición LU con pivotación parcial:

    P A = L U

    siendo:

    L =     U =     P =

  3. Para el cálculo del determinante de A:
  4. det(P A) = det (L U) Þ det(P) det(A)= det (L) det(U) Þ det(A) = -det (U) = 40

  5. Para resolver el sistema solamente nos falta resolver un sistema triangular superior:

luego

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5.9.2 Ejercicios propuestos.

1.- Dada la matriz:

 

A =

a) Calcula la descomposición LU de la matriz A.

b) Utiliza esa descomposición para calcular, si es posible, la inversa de A por resolución simultánea de sistemas de ecuaciones lineales.

c) Razona si se puede aplicar la descomposición de Cholesky a la matriz A. En caso afirmativo calcular la factorización de Cholesky de A.

d) Utiliza esa descoposición para resolver el sistema:

 

2.- Dada la matriz:

A =

a) Calcula la descomposición LU con pivotación parcial de la matriz A.

b) Utiliza esa descomposición para calcular el determinante de A.

c) Calcular la inversa de A por resolución simultánea de sistemas de ecuaciones lineales.

3.-

a) Deducir las fórmulas para la descomposición de Cholesky de una matriz tridiagonal, simétrica y definida positiva, sabiendo que la matriz G resultante de la descomposición será bidiagonal y triangular inferior.

b) Basándote en las fórmulas deducidas, escribe el algoritmo de Cholesky para esta matriz tridiagonal.

c) Calcula el coste en FLOPS del algoritmo.

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4.- Escribir en pseudocódigo un algoritmo que resuelva un sistema de ecuaciones, cuya matriz de coeficientes A es una matriz banda de ancho de banda b , mediante la descomposición LU de la matriz A. Minimizar el número de operaciones.

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5.- Dada la matriz A =

a) Calcular la inversa de la matriz A utilizando la resolución simultánea de sistemas de ecuaciones lineales.

b) Mediante la descomposición obtenida en el apartado anterior, calcular el determinante de la matriz A.

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6.- Dada la matriz A =

a) Calcular la descomposición de Cholesky de la matriz A.

b) Resuelve el sistema de ecuaciones Ax = b, tomando como vector de términos independientes b = [4, 0, 6]t. Utiliza la descomposición de Cholesky.

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7.- Escribir en pseudocódigo el algoritmo del método de Cholesky para resolver un sistema de ecuaciones, cuya matriz de coeficientes A es una matriz banda de ancho de banda b , minimizando el número de operaciones.

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